Question

求方程x²+2y²=1979的正整数解．

Answer 1

考点：不定方程的分析求解

专题：不定方程问题

分析：先证明若方程有正整数解，则x和y必都为奇数．再根据个位数的特点解答即可．

解答： 解：首先证明若方程有正整数解，则x和y必都为奇数．
x为奇数是显然的．若y为偶数，由于x²为4k+1型的数，故x²+2y²为4k+1型的数，而1979为4k+3型的数，则x²+2y²为4k+1型的数，而1979为4k+3型的数，这是不可能的，从而y也为奇数．
由于x²的个位数是1，5，9；2y²的个位数是0，2，8，由于x²+2y²的个位数是9，可得x²的个位数只能为1，9；y²的个位数只能是5，3，7（考虑到y是奇数），
因为2y²≤1979，则y²≤

1979

2

，所以y≤31，而不大于31的个位是5，3，7的数只有3，5，7，13，15，17，23，25，27．
经检验，知x=27，y=25是原方程的正整数解．
答：原方程的正整数解为

x=27 y=25

．

点评：此题考查了不定方程的解，将原式变形转化为奇偶性问题是解题的关键．