Question

将100!-5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）．这99个余数的和是多少？

Answer 1

考点：带余除法

专题：余数问题

分析：设a÷b=c…d，a、b、c、d都是整数，则a=cb+d，d＜b；令a=100！-5 则100！=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，可得g=c+（d+5）÷b；因为g为整数，c为整数，所以d+5必为b的倍数，d＜b，且d≥0，然后分类讨论，求出将100!-5分别除以2，3，4，…，100，得到的余数的情况，进而求出这99个余数的和是多少即可．

解答： 解：设a÷b=c…d，a、b、c、d都是整数，
则a=cb+d，d＜b；
令a=100！-5
则100！=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，
可得g=c+（d+5）÷b；
因为g为整数，c为整数，
所以d+5必为b的倍数，d＜b，且d≥0，
所以可推得：
（1）除数b=2，d+5=6，则d=1，
（2）除数b=3，d+5=6，则d=1，
（3）除数b=4，d+5=8，则d=3，
（4）除数b=5，d+5=0，则d=0，
（5）除数b=6，d+5=6，则d=1，
当b＞5时，余数d=b-5，
因此这99个余数的和为：
1+1+3+1+2+3…+95=5+95+（1+94）×47=4565．

点评：此题主要考查了带余除法问题的应用，考查了分类讨论思想的应用．