【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连CH、CG.
(1)求证:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度数;并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系,说明理由;
(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD,在旋转过程中,四边形AEBD能否为矩形?如果能,请求出点H的坐标;如果不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)45°;HG= HO+BG;(3)(2,0).
【解析】
试题分析:(1)求证全等,观察两个三角形,发现都有直角,而CG为公共边,进而再锁定一条直角边相等即可,因为其为正方形旋转得到,所以边都相等,即结论可证.
(2)上问的结论,本题一般都要使用才能求出结果.所以由三角形全等可以得到对应边、角相等,即BG=DG,∠DCG=∠BCG.同第一问的思路你也容易发现△CDH≌△COH,也有对应边、角相等,即OH=DH,∠OCH=∠DCH.于是∠GCH为四角的和,四角恰好组成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.
(3)四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.由上几问知DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即四边形AEBD为矩形.求H点的坐标,可以设其为(x,0),则OH=x,AH=6-x.而BG为AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三边都可以用含x的表达式表达,那么根据勾股定理可列方程,进而求出x,推得H坐标.
试题解析:(1)∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF
∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG(HL),
(2)∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG,DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中
∴△CHO≌△CHD(HL)
∴∠OCH=∠DCH,OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
(3)四边形AEBD可为矩形
如图,
连接BD、DA、AE、EB
因为四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.
因为DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即平行四边形AEBD对角线相等,则其为矩形.
所以当G点为AB中点时,四边形AEBD为矩形.
∵四边形DAEB为矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
设H点的坐标为(x,0)
则HO=x
∵OH=DH,BG=DG
∴HD=x,DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3,GA=3,HA=6-x
∴(x+3)2=32+(6-x)2
∴x=2
∴H点的坐标为(2,0).
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【题目】如图,以菱形ABCD对角线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为(﹣2 ,0)、(0,﹣ ),直线DE⊥DC交AC于E,动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动,设△PDE的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒.
(1)求直线DE的解析式;
(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,∠EPD+∠DCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.
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【题目】如图,反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象交于点A(2,2)、B( ,n).
(1)求这两个函数解析式;
(2)将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求m的值.
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【题目】(10分)如图,在矩形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,连接AF,DE交于点O.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)△AOD是等腰三角形.
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【题目】在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘,其中最大的积是a,最小的积是b.
(1)求a,b的值;
(2)若|x+a|+|y-b|=0,求(x+y)÷(x-y)的值.
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【题目】某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度i=1:2,且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号)
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论: ①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,
其中,正确的个数有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点A,给出如下定义:若存在点B(不与点A重合,且直线AB不与坐标轴平行或重合),过点A作直线m∥x轴,过点B作直线n∥y轴,直线m,n相交于点C.当线段AC,BC的长度相等时,称点B为点A 的等距点,称三角形ABC的面积为点A的等距面积. 例如:如图,点A(2,1),点B(5,4),因为AC= BC=3,所以B为点A 的等距点,此时点A的等距面积为.
(1)点A的坐标是(0,1),在点B1(-1,0),B2(2,3),B3(-1,-1)中,点A 的等距点为________________.
(2)点A的坐标是(-3,1),点A的等距点B在第三象限,
①若点B的坐标是,求此时点A的等距面积;
②若点A的等距面积不小于,求此时点B的横坐标t的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′,则补充的这个条件是( )
A. BC=B′C′ B. ∠A=∠A′ C. AC=A′C′ D. ∠C=∠C′
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