【题目】如图,以菱形ABCD对角线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为(﹣2 ,0)、(0,﹣ ),直线DE⊥DC交AC于E,动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动,设△PDE的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒.
(1)求直线DE的解析式;
(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,∠EPD+∠DCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.
【答案】
(1)
解:由菱形的对称性可得,C(2 ,0),D(0, ),
∴OD= ,OC=2 ,tan∠DCO= = ,
∵DE⊥DC,
∴∠EDO+∠CDO=90°,
∵∠DCO+∠CD∠=90°,
∴∠EDO=∠DCO,
∵tan∠EDO=tan∠DCO= ,
∴ ,
∴OE= ,
∴E(﹣ ,0),
∴D(0, ),
∴直线DE解析式为y=2x+
(2)
解:由(1)得E(﹣ ,0),
∴AE=AO﹣OE=2 ﹣ = ,
根据勾股定理得,DE= = ,
∴菱形的边长为5,
如图1,
过点E作EF⊥AD,
∴sin∠DAO= ,
∴EF= = ,
当点P在AD边上运动,即0≤t< ,
S= PD×EF= ×(5﹣2t)× =﹣ t+ ,
如图2,
点P在DC边上运动时,即 <t≤5时,
S= PD×DE= ×(2t﹣5)× = t﹣ ;
∴S=
(3)
解:设BP与AC相交于点Q,
在菱形ABCD中,∠DAB=∠DCB,DE⊥DC,
∴DE⊥AB,
∴∠DAB+∠ADE=90°,
∴∠DCB+∠ADE=90°,
∴要使∠EPD+∠DCB=90°,
∴∠EPD=∠ADE,
当点P在AD上运动时,如图3,
∵∠EPD=∠ADE,
∴EF垂直平分线PD,
∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2 ,
∴2t=5﹣ ,
∴t= ,
此时AP=1,
∵AP∥BC,
∴△APQ∽△CBQ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴AQ= ,
∴OQ=OA﹣AQ= ,
在Rt△OBQ中,tan∠OQB= = = ,
当点P在DC上运动时,如图4,
∵∠EPD=∠ADE,∠EDP=∠EFD=90°
∴△EDP∽△EFD,
∴ ,
∴DP= = = ,
∴2t=AD﹣DP=5+ ,
∴t= ,
此时CP=DC﹣DP=5﹣ = ,
∵PC∥AB,
∴△CPQ∽△ABQ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴CQ= ,
∴OQ=OC﹣CQ=2 ﹣ = ,
在Rt△OBD中,tan∠OQB= = =1,
即:当t= 时,∠EPD+∠DCB=90°.此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为 .
当t= 时,∠EPD+∠DCB=90°.此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1
【解析】(1)先有菱形的对称性得出点C,D坐标,然后用∠DCO的正切值,以及等角的三角函数值相等列出方程,最后用待定系数法求出直线DE解析式.(2)先求出菱形的边长,再求出EF,分点P在AD和DC边上,用面积公式求解;(3)先求出∠EPD=∠ADE,分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t,用相似三角形的比例式建立方程求出OQ,解直角三角形即可.
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【题目】一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动,想一想.
的含义是什么?
请你计算出该商品的最高价格和最低价格;
如果以标准价为标准,超过标准价记“”,低于标准价记“”,该商品价格的浮动范围又可以怎样表示?
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【题目】如图,点O是边长为4 的等边△ABC的内心,将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1 , B1C1交BC于点D,B1C1交AC于点E,则DE= .
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【题目】如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是 的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若OF=4,求AC的长度.
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【题目】为了切实关注、关爱贫困家庭学生,某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计,以便国家精准扶贫政策有效落实.统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名,共五种情况.并将其制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)求该校一共有多少个班?并将条形图补充完整;
(2)某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中,任选两名进行帮扶,请用列表法或树状图的方法,求出被选中的两名学生来自同一班级的概率.
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【题目】已知,下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: ①x2﹣1=0,②x2+x﹣2=0,③x2+2x﹣3=0,④x2+3x﹣4=0,…,,…
(1)上述一元二次方程的解为①________,②________,③________,④________.
(2)猜想:第n个方程为________,其解为________.
(3)请你指出这n个方程的根有什么共同的特点(写出一条即可).
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【题目】如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边形,如图,就是一组正多边形,观察每个正多边形中的变化情况,解答下列问题.
(1)将下面的表格补充完整:
(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
(3)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连CH、CG.
(1)求证:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度数;并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系,说明理由;
(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD,在旋转过程中,四边形AEBD能否为矩形?如果能,请求出点H的坐标;如果不能,请说明理由.
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