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【题目】如图,以菱形ABCD对角线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为(﹣2 ,0)、(0,﹣ ),直线DE⊥DC交AC于E,动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动,设△PDE的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒.

(1)求直线DE的解析式;
(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,∠EPD+∠DCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.

【答案】
(1)

解:由菱形的对称性可得,C(2 ,0),D(0, ),

∴OD= ,OC=2 ,tan∠DCO= =

∵DE⊥DC,

∴∠EDO+∠CDO=90°,

∵∠DCO+∠CD∠=90°,

∴∠EDO=∠DCO,

∵tan∠EDO=tan∠DCO=

∴OE=

∴E(﹣ ,0),

∴D(0, ),

∴直线DE解析式为y=2x+


(2)

解:由(1)得E(﹣ ,0),

∴AE=AO﹣OE=2 =

根据勾股定理得,DE= =

∴菱形的边长为5,

如图1,

过点E作EF⊥AD,

∴sin∠DAO=

∴EF= =

当点P在AD边上运动,即0≤t<

S= PD×EF= ×(5﹣2t)× =﹣ t+

如图2,

点P在DC边上运动时,即 <t≤5时,

S= PD×DE= ×(2t﹣5)× = t﹣

∴S=


(3)

解:设BP与AC相交于点Q,

在菱形ABCD中,∠DAB=∠DCB,DE⊥DC,

∴DE⊥AB,

∴∠DAB+∠ADE=90°,

∴∠DCB+∠ADE=90°,

∴要使∠EPD+∠DCB=90°,

∴∠EPD=∠ADE,

当点P在AD上运动时,如图3,

∵∠EPD=∠ADE,

∴EF垂直平分线PD,

∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2

∴2t=5﹣

∴t=

此时AP=1,

∵AP∥BC,

∴△APQ∽△CBQ,

∴AQ=

∴OQ=OA﹣AQ=

在Rt△OBQ中,tan∠OQB= = =

当点P在DC上运动时,如图4,

∵∠EPD=∠ADE,∠EDP=∠EFD=90°

∴△EDP∽△EFD,

∴DP= = =

∴2t=AD﹣DP=5+

∴t=

此时CP=DC﹣DP=5﹣ =

∵PC∥AB,

∴△CPQ∽△ABQ,

∴CQ=

∴OQ=OC﹣CQ=2 =

在Rt△OBD中,tan∠OQB= = =1,

即:当t= 时,∠EPD+∠DCB=90°.此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为

当t= 时,∠EPD+∠DCB=90°.此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1


【解析】(1)先有菱形的对称性得出点C,D坐标,然后用∠DCO的正切值,以及等角的三角函数值相等列出方程,最后用待定系数法求出直线DE解析式.(2)先求出菱形的边长,再求出EF,分点P在AD和DC边上,用面积公式求解;(3)先求出∠EPD=∠ADE,分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t,用相似三角形的比例式建立方程求出OQ,解直角三角形即可.

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