Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是 的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE与⊙O相切．

证明：连接OD、AD，

∵点D是 的中点，

∴ = ，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切

（2）解：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，

由垂径定理可得：OH⊥BC， = = ，

∴ = ，

∴DG=BC，

∴弦心距OH=OF=4，

∵AB是直径，

∴BC⊥AC，

∴OH∥AC，

∴OH是△ABC的中位线，

∴AC=2OH=8．

【解析】（1）先连接OD、AD，根据点D是 的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形中位线定理和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．