【题目】如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是 的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若OF=4,求AC的长度.
【答案】
(1)解:DE与⊙O相切.
证明:连接OD、AD,
∵点D是 的中点,
∴ =
,
∴∠DAO=∠DAC,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ODA,
∴∠DAC=∠ODA,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE与⊙O相切
(2)解:连接BC交OD于H,延长DF交⊙O于G,
由垂径定理可得:OH⊥BC, =
=
,
∴ =
,
∴DG=BC,
∴弦心距OH=OF=4,
∵AB是直径,
∴BC⊥AC,
∴OH∥AC,
∴OH是△ABC的中位线,
∴AC=2OH=8.
【解析】(1)先连接OD、AD,根据点D是 的中点,得出∠DAO=∠DAC,进而根据内错角相等,判定OD∥AE,最后根据DE⊥OD,得出DE与⊙O相切;(2)先连接BC交OD于H,延长DF交⊙O于G,根据垂径定理推导可得OH=OF=4,再根据AB是直径,推出OH是△ABC的中位线,进而得到AC的长是OH长的2倍.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用三角形中位线定理和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半;垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
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【题目】为了解学生体育训练的情况,某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试(把成绩结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)求本次抽样测试的学生人数;
(2)求扇形图中∠α的度数,并把条形统计图补充完整;
(3)该市九年级共有学生9000名,如果全部参加这次体育测试,则测试等级为D的约有多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为( )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.8cm
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线SN与直线WE相交于点O,射线ON表示正北方向,射线OE表示正东方向.已知射线OB的方向是南偏东m°,射线OC的方向是北偏东n°,且m°的角与n°的角互余.
(1)①若m=50,则射线OC的方向是________;
②图中与∠BOE互余的角有__________,与∠BOE互补的角有__________.
(2)若射线OA是∠BON的平分线,则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系?如果存在,请写出你的结论以及计算过程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,以菱形ABCD对角线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为(﹣2 ,0)、(0,﹣
),直线DE⊥DC交AC于E,动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动,设△PDE的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒.
(1)求直线DE的解析式;
(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,∠EPD+∠DCB=90°?并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值.
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【题目】阅读下列材料并回答问题: 材料1:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记 ,那么三角形的面积为
. ①
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称海伦公式.
我国南宋数学家秦九韶(约1202﹣﹣约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式: . ②
下面我们对公式②进行变形: =
=
=
=
=
.
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式.
问题:如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O内切于△ABC,切点分别是D、E、F.
(1)求△ABC的面积;
(2)求⊙O的半径.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】云南地区地震发生后,市政府筹集了必需物资120吨打算运往灾区,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节省运费,市政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送,已知它们的总辆数为14辆,你能求出这三种车型分别有多少辆吗?此时的运费又是多少元?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在数-5,1,-3,5,-2中任取三个数相乘,其中最大的积是a,最小的积是b.
(1)求a,b的值;
(2)若|x+a|+|y-b|=0,求(x+y)÷(x-y)的值.
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