Question

【题目】如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，点C在直线y=2x上：CB的延长线交直线y=x于点A1 ， 作等腰Rt△A1B1C1 ， 是∠A1B1C1=90°，B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，点C1在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△AnBnCn的腰长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设AB=a，
∵直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，
∴C（，1﹣a，1+a），
∵点C在直线y=2x上，
∴1+a=2（1﹣a），
解得a= ，
∴等腰Rt△ABC的腰长为 ，
∴C（ ， ），
∴A1的坐标为（ ， ），
设A1B1=b，则C1（ ﹣b， +b），
∵点C1在直线y=2x上，
∴ +b=2（ ﹣b）
解得b= ，
∴等腰Rt△A1B1C1的腰长为
∴C1（ ， ）
∴A2（ ， ），
设A2B2=c，则C2（ ﹣c， +c），
∵点C2在直线y=2x上，
∴ +c=2（ ﹣c），
解得c= ，
∴等腰Rt△A2B2C2的腰长为 ，
以此类推，
A3B3= ，即等腰Rt△A3B3C3的腰长为 ，
A4B4= ，即等腰Rt△A4B4C4的腰长为 ，
…
∴AnBn= ，等腰Rt△AnBnCn的腰长为 ，
故答案为 ．
设设AB=a，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，利用y=x求出A 点的坐标，A1B1=b，则利用y=2x求出点C1（ ﹣b， +b），从而得到A1B1的长度，以此类推，求出A2B2、A3B3 ， 从而得出规律即可得解．