Question

4．如图，△ABC中边BC=50，高AD=40，点E、F在AB、AC上，且EF∥BC交中线AM和高AD于点N和点G．
（1）若点N是△ABC的重心，求△EDF的面积；
（2）求当EF长度为多少时，△EDF的面积最大．

Answer 1

分析 （1）由三角形重心的性质可知：$\frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$，从而可得到EF=$\frac{2}{3}CB$，DG=$\frac{1}{3}AD$，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）设EF=x，由$\frac{EF}{CB}=\frac{AG}{AG}$，可求得AG=$\frac{4}{5}x$，然后可表示出GD=40-$\frac{4}{5}x$，由三角形的面积公式可求得△EDF的面积与x的函数关系，根据二次函数的性质可求得EF的长度．

解答 解：（1）∵N是三角形的重心，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$．
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{CB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DG}{AD}=\frac{1}{3}$．
∴EF=$\frac{2}{3}×50$=$\frac{100}{3}$，$DG=\frac{1}{3}×40$=$\frac{40}{3}$．
∴△EDF的面积=$\frac{1}{2}×\frac{100}{3}×\frac{40}{3}$=$\frac{2000}{9}$．
（2）设EF=x．
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{CB}=\frac{AG}{AD}$，即$\frac{x}{50}=\frac{AG}{40}$．
∴AG=$\frac{4}{5}x$．
∴GD=40-AG=40-$\frac{4}{5}x$．
∴${S}_{△EFD}=\frac{1}{2}×EF×DG$=$\frac{1}{2}x（40-\frac{4}{5}x）$=$-\frac{2}{5}{x}^{2}+20x$．
∴x=-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{20}{-2×\frac{2}{5}}$=25．
∴当EF=25时，△EDF的面积最大．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、二次函数的性质、三角形的重心，根据题意得出△EFD的面积与EF的长度的关系是解题的关键．