Question

13．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，证明△DBE≌△BCF和△BGD≌△BHC，计算DE=BF=$\frac{14}{3}$，再证明△BGE∽△BCF，列比例式得：$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，求得CF=$±\frac{2\sqrt{7}}{3}$，从而得CD的长．

解答 解：延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC=AB=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DBC=∠BCF=60°，
∵CE=DF，
∴BC-CE=CD-DF，
即BE=CF，
在△DBE和△BCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=BC}\\{∠DBC=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDG=∠FBC，
∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=2，∠GBH=60°，
∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，
∴∠DBF=∠HBC，
在△BGD和△BHC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠DBF=∠HBC}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△BHC（SAS），
∴DG=CH=4，
∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，
∴BF∥CH，
∴△BGE∽△CEH，
∴$\frac{BG}{CH}=\frac{EG}{EH}=\frac{BE}{CE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵EG+EH=2，
∴EG=$\frac{2}{3}$，
∴BF=DE=4+$\frac{2}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，
∴△BGE∽△BCF，
∴$\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{\frac{2}{3}}{CF}$=$\frac{CF}{\frac{14}{3}}$，
∴CF²=$\frac{28}{9}$，
CF=$±\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
∴BE=CF=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
∴BC=3BE=3×$\frac{2\sqrt{7}}{3}$=2$\sqrt{7}$，
∴CD=BC=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形全等的性质和判定、三角形相似的性质和判定、等边三角形的性质和判定，作辅助线，构建全等三角形是本题的关键，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BGH为等边三角形是突破口．