Question

【题目】已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接，设.

（1）如图1，当被对角线平分时，求的值；

（2）求证：与相似；

（3）当的外心在其边上时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析 （3），或，

【解析】

（1）先证∠AEC=22.5°，得CE=AC，从而求出a，同理可求b；

（2）先证，再由证得相似；

（3）根据的外心在其边上，得到为直角三角形，分，两种情况，分别求出a，b的值即可.

解：（1），平分，

，

，

，

，

∵正方形的边长为4，

∴AC=，

∴CE=，即，

∵ACD=45°，

∴∠AFC=∠ACD-∠CAF=22.5°，

∴CF=AC=，即；

（2），

，

，

又，

∽；

（3）∵的外心在其边上，

∴为直角三角形，

，

或，

①若，

，

，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

，；

②若，

，

，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

∴，；

∴当的外心在其边上时

，或，.