Question

【题目】阅读材料，并解决问题：

我国古代数学的许多发现都曾居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如图是“杨辉三角”的一部分，其构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，“杨辉三角”给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．

（1）根据上面的规律，直接写出的展开式共有_______项；

（2）直接写出的展开式；

（3）利用上面的规律计算：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1

【解析】

(1)根据规律能得出(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的值，即可推出结论；
(2)根据规律即可推出(a+b)5的展开式；

(3)根据(a+b)5的逆运算即可得到(2-1)5=1．

(1)∵(a+b)1=a+b，共有2项；
(a+b)2=a2+2ab+b2，共有3项；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，共有4项；
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，共有5项；

，

∴，共有2020项；

故答案为：2020；
(2)根据(1)的规律，

∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案为：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

(3)∵(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，

当a=2，b=-1时，(2-1)5=25-5×24+10×23-10×22+5×2-1，

∴25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=15=1，
故答案为：1．