Question

【题目】如图①，四边形是边长为2的正方形，，四边形是边长为的正方形，点分别在边上，此时，成立．

（1）当正方形绕点逆时针旋转，如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当正方形绕点逆时针旋转（任意角）时，仍成立吗？直接回答；

（3）连接，当正方形绕点逆时针旋转时，是否存在∥，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）成立，证明见解析；（2）结论仍成立；（3）存在，

【解析】

（1）先利用正方形的性质和旋转的性质证明≌，然后得出，再根据等量代换即可得出，则有；

（2）先利用正方形的性质和旋转的性质证明≌，然后得出，再根据等量代换即可得出，则有；

（3）通过分析得出时，在同一直线上,根据AO,AF求，从而有,最后利用即可求解．

（1）结论，仍成立．

如图1，延长交于交于点，

∵四边形，ABCD都是正方形,

∴ ．

由旋转可得，，

，

∴≌，

∴．

,

，

∴，

∴结论仍成立 ．

（2）若正方形绕点逆时针旋转时，如图，结论仍然成立，理由如下：

如图2，延长交于交于点，

∵四边形，ABCD都是正方形,

∴ ．

由旋转可得，，

，

∴≌，

∴．

,

，

∴，

∴结论仍成立 ．

当旋转其他角度时同理可证 ，所以结论仍成立．

（3）存在

如图3，连接，与相交于，

∵，当∥时，，

又∵，

∴在同一直线上．

∵四边形ABCD，AEGF是正方形，

∴ ．

∵，

∴ ．

∵,

，

，

∴，

即当时，∥成立．