Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC延长线上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，求BC和BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE．欲证BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）根据AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，求得BE=2$\sqrt{5}$，进而求得BC=2BE=4$\sqrt{5}$，过点C作CG⊥BF于点G，则AB∥CG．解直角三角形求得CG，然后由“平行线截线段成比例”知$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CG}{AB}$=$\frac{BF-8}{BF}$=$\frac{4}{10}$，从而求得BF的值．

解答 （1）证明：连接AE．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF为⊙O的切线；

（2）解：过点C作CG⊥BF于点G．
∵AB=10，BE：AB=1：$\sqrt{5}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$，
∵sin∠CBG=sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴CG=BC×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=4，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5）^{2}-{4}^{2}}}$=8，
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CG}{AB}$（平行线截线段成比例），
即$\frac{BF-8}{BF}$=$\frac{4}{10}$
∴BF=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．