Question

1．将一张长为4，宽为2的矩形纸片沿对角线剪开得到两张三角形纸片，如图甲，点O是矩形的中心，
（1）将图甲中右边的三角形作怎样的变换能得到图乙（点D、C、B在同一直线上）
（2）如图乙：①直线DE与AB 有怎样的位置关系？请证明您的结论；
②将△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移变换和旋转变换可将图甲中右边的三角形变换得到图乙；
（2）①延长DE交AB于点F，如图乙，由于Rt△ABC≌Rt△DEC，则∠A=∠D，加上∠A+∠B=90°，所以∠D+∠B=90°，于是可判断DE⊥AB；
②作EG∥BC交AB于G，如图丙，由题意得，CE=BC=2，AC=4，判断EG是△ABC是中位线，于是得到EG=$\frac{1}{2}$BC=1，所以将△DCE沿着直线DB向右平移1个距离时，点E恰好落在边AB上．

解答 解：（1）将图甲中右边的三角形先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后再绕直角顶点顺时针旋转90°得到图乙；
（2）①DE⊥AB．理由如下：
延长DE交AB于点F，如图乙，
∵Rt△ABC≌Rt△DEC，
∴∠A=∠D，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠D+∠B=90°，
∴∠DFB=90°，
∴DE⊥AB；
②将△DCE沿着直线DB向右平移1个距离时，点E恰好落在边AB上．理由如下：
作EG∥BC交AB于G，如图丙，由题意得，CE=BC=2，AC=4，则E点为AC的中点，
∴EG是△ABC是中位线，
所以EG=$\frac{1}{2}$BC=1．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平移的性质．