[题目]如图所示.是一张放在平面直角坐标系中的纸片.点与原点重合.点在轴的正半轴上.点在轴的正半轴上．已知.．将纸片的直角部分翻折.使点落在边上.记为点.为折痕.点在轴上． (1)在如图所示的直角坐标系中.点的坐标为. . ,(2)线段上有一动点(不与点.重合)自点沿方向以每秒个单位长度向点做匀速运动.设运动时间为.过点作交于点.过点作交于点.求四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图所示，是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．已知，．将纸片的直角部分翻折，使点落在边上，记为点，为折痕，点在轴上．

（1）在如图所示的直角坐标系中，点的坐标为，________，________；

（2）线段上有一动点（不与点，重合）自点沿方向以每秒个单位长度向点做匀速运动，设运动时间为，过点作交于点，过点作交于点，求四边形的面积与时间之间的函数表达式．当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）当为何值时，，，三点构成一个等腰三角形？并求出点的坐标．

【答案】（1），；（2）当时，最大；（3）时，的坐标为；时，M的坐标为

【解析】

（1）由折叠可知△AOE≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等，以及对应角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根据勾股定理求出AB的长，设出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而写出点E的坐标，再在直角三角形AOE中，根据勾股定理求出AE的长即可；
（2）根据两组对边互相平行得到四边形MNDP为平行四边形，又∠ADE为直角，所以MNDP为矩形，根据题意表示出AP的长，进而得到PD的长，又由平行得到两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，将各自的值代入表示出PM的长，由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长DP与宽PM，表示出矩形的面积，得到面积与t成二次函数关系，利用二次函数求最值的方法求出面积S的最大值及取得最大值时t的值即可；
（3）根据题意发现有两种情况满足△ADM为等腰三角形，①当MD=MA时，P为AD中点，由AD求出AP，进而根据速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，根据证明△APM≌△AFM，求出MF=MP，即为M的纵坐标，求出FA，进而求出OF的长，即为M的横坐标，写出M的坐标即可；②当AD=AM=3时，由平行的两对同位角相等，进而得到△AMP∽△AED，根据相似三角形对应边成比例得到比例式，求出AP的长，由速度求出此时t的值，此时三角形AMD为等腰三角形，过M作MF垂直于x轴，证明△APM≌△AFM，同理可得M的坐标．

解：（1）据题意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
设DE=OE=x，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即22+x2=（4-x）2，解得x＝，

∴E（0，），

在Rt△AOE中，AE＝；

（2），，且，

四边形是矩形，

，

∽，

，

当s时，；

（3）为等腰三角形有以下两种情况：

①当时，点是的中点，

s，

当时，，，三点构成一个等腰三角形，

如图1，过点作于点，

在△APM和△AFM中

，

（AAS），

，，

，

此时点的坐标为，

②当时，

，

，即，

s，

当s时，，，三点构成一个等腰三角形，

如图2，过点作于点，

在△AMF和△AMP中，

，

（AAS），

，，

，

此时点的坐标为．

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