Question

【题目】如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”.

根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.

⑴利用“8字型”

如图（1）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________.

⑵构造“8字型”

如图（2）：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_________.

⑶发现“8字型”

如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.

①图中共有________个“8字型”；

②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值．

Answer 1

【答案】 360 540度 ①6

【解析】（1）如图，

由“8字型”得，∠A+∠B=∠2+∠3①; ∠C+∠D=∠2+∠1②;∠E+∠F=∠1+∠3③；

+②+③得

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠1+∠2+∠3）=360°.

（2）如图，连接BC.

∵∠A+∠ABE+∠1+∠2+∠DCG+∠D+∠F=540°; ∠1+∠2=∠G+∠E;

∴∠A+∠ABE+∠G+∠E+∠DCG+∠D+∠F=540°.

（3）①图中有6个“8字型”；

②如图，

∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠D+∠1=∠F+∠3，

∠B+∠4=∠F+∠2，

∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2，

；

当∠B:∠D:∠F=4:6:x时，设∠B=4a，则∠D=6a，∠F=ax，

∵2∠F=∠B+∠D，

∴2ax=4a+6a

∴2x=4+6，

∴x=5.