Question

7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，-4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO²=PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大；
③当k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，BP²=BO•BA；④△PAB面积的最小值为4$\sqrt{6}$，
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP²=BO•BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S_△PAB=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，当k=0时，取得最小值为4$\sqrt{6}$，故正确．

解答 解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=$\frac{1}{3}$x²-2与y=kx得：$\frac{1}{3}$x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{ma+b=km}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{km+4}{m}$，b=-4，
∴y=（$\frac{km+4}{m}$）x-4．
令y=0，得x=$\frac{4m}{km+4}$，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（$\frac{4m}{km+4}$，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（$\frac{kn+4}{n}$）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（$\frac{4n}{kn+4}$，0）．
∵$\frac{4m}{km+4}$+$\frac{4n}{kn+4}$=$\frac{8kmn+16（n+n）}{（km+4）（kn+4）}$=$\frac{8k×（-6）+16×3k}{（km+4）（kn+4）}$=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴$\frac{PO}{PA′}$=$\frac{PB}{PO}$，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：$\frac{OB}{OA}$=-$\frac{n}{m}$，
∴OB=-$\frac{n}{m}$OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴PB=-$\frac{n}{m}$PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-$\frac{n}{m}$PA-（-$\frac{n}{m}$OA）]=-$\frac{n}{m}$（PA+AO）（PA-OA）=-$\frac{n}{m}$（PA²-AO²）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=$\frac{1}{3}$（m+n），
∴PA²-AO²=8•$\frac{1}{3}$（m+n）•m+16=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{8}{3}$mn+16=$\frac{8}{3}$m²+$\frac{8}{3}$×（-6）+16=$\frac{8}{3}$m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-$\frac{n}{m}$（PA²-AO²）=-$\frac{n}{m}$•$\frac{8}{3}$m²=-$\frac{8}{3}$mn=-$\frac{8}{3}$×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-2}\end{array}\right.$，得A（-2$\sqrt{3}$，2），B（$\sqrt{3}$，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=$\frac{1}{2}$OP•（-m）+$\frac{1}{2}$OP•n=$\frac{1}{2}$OP•（n-m）=2（n-m）=2$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2$\sqrt{24}$=4$\sqrt{6}$．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选B

点评 本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．