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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④PBF是等边三角形.其中正确的是( )

A.①② B.②③ C.①③ D.①④

【答案】D

【解析】

试题分析:求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30°,然后求出AEP=60°,再根据翻折的性质求出BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF=PE,判断出②错误;求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;求出PBF=PFB=60°,然后得到PBF是等边三角形,判断出④正确.

解:AE=AB,

BE=2AE,

由翻折的性质得,PE=BE,

∴∠APE=30°,

∴∠AEP=90°﹣30°=60°,

∴∠BEF=(180°﹣AEP)=(180°﹣60°)=60°,

∴∠EFB=90°﹣60°=30°,

EF=2BE,故①正确;

BE=PE,

EF=2PE,

EFPF,

PF2PE,故②错误;

由翻折可知EFPB,

∴∠EBQ=EFB=30°,

BE=2EQ,EF=2BE,

FQ=3EQ,故③错误;

由翻折的性质,EFB=EFP=30°,

∴∠BFP=30°+30°=60°,

∵∠PBF=90°﹣EBQ=90°﹣30°=60°,

∴∠PBF=PFB=60°,

∴△PBF是等边三角形,故④正确;

综上所述,结论正确的是①④.

故选:D.

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