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【题目】对于一个关于x的代数式A,若存在一个系数为正数关于x的单项式F,使的结果是所有系数均为整数的整式,则称单项式F为代数式A整系单项式.例如:

A=F=2x3时,由于=1,故2x3的整系单项式;

A=F=6x5时,由于,故6x5的整系单项式;

A=3-F=时,由于=2x-1,故3-的整系单项式;

A=3-F=8x4时,由于,故8x43-的整系单项式;

显然,当代数式A存在整系单项式F时,F有无数个,现把次数最低,系数最小的整系单项式F记为FA).例如:

阅读以上材料并解决下列问题:

1)判断:当A=时,F=2x3______A的整系单项式(填不是

2)解方程:

3)已知abcABC的边长,其中ab满足(a-52+=0,且关于x的方程||=c有且只有3个不相等的实数根,求ABC的周长.

【答案】1)是;(2x=;(32627

【解析】

1)当A=时,F=2x3时,=x

2)令F=axn,结合定义进行判断,即可求出Fx+1=2xF1-=2x2,将所求方程转化为-1=即可求解;

3)根据平方与二次根式的性质可求a=5b=9,再求出F=x2,将所求式子转化为可以化为||=c,结合函数图象即可求解;

解:(1)当A=时,F=2x3时,=x

2x3的整系单项式;

2Fx+1=2xF1-=2x2

可以化为-1=

2x2-3x+1=0

x=1x=

经检验x=1是方程的增根,

∴原方程的解为x=

3)∵(a-52+=0

a=5b=9

F=x2

||=c可以化为||=c

|x-3++6|=c

x=6时,c=12

∴当x≥6时,c≥12,此时方程有且只有3个不相等的实数根,

c14

c=12c=13

∴△ABC的周长为2627

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