Question

【题目】如图：在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—2，—4 ），O（0，0），B（2，0）三点.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标D.

（2）若使轴上一点P，使P 到A、D的距离之和最小，求P的坐标.

（3）若抛物线对称轴上一点M，使AM + OM最小，求AM + OM的最小值.

Answer 1

【答案】（1），D（1， ）；（2）P（，0）；（3）.

【解析】试题分析：

（1）由抛物线过点O（0，0），B（2，0）可设其解析式为，再代入点A（-2，-4 ），可解得的值，从而可得抛物线的解析式；

把所得解析式配方化为顶点式，即可得到顶点坐标；

（2）根据“两点之间线段最短”连接AD交轴于点P，点P即为所求点；由A、D的坐标求出直线AD的解析式，就可求得点P的坐标；

（3）由题意可知，点O、B关于抛物线的对称轴对称，因此连接AB交抛物线对称轴于点M，则M为所求点，线段AB的长度就是OM+AM的最小值；根据A、B两点长坐标由两点间距离公式计算出AB的长度即可.

试题解析：

（1）抛物线经过O（0，0），B（2，0），

则抛物线可设为，由抛物线过点A（-2，-4 ）可得： , 解得：

抛物线解析式为： 即： ，

配方得： ，

∴抛物线的顶点D的坐标为：（1， ）；

（2）连接AD交x轴于点P,

设直线AD的解析式为： ，

∵D的坐标为：（1， ），A的坐标为：（-2，-4 ），

∴有： ，解得： ，

∴直线AD为： .

当y=0时， ，

解得x =

∴ P的坐标为： ；

（3）由（1）知：抛物线为：

∴对称轴为：直线为

∵点O与点B关于直线为对称，连接AB交直线为于M，

∴点M为所求点，连接MO，则MO+MA的最小值就是AB的长.

∵点A的坐标为： ，点B的坐标为： ，

∴AB=，

∴AM + OM的最小值为.