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【题目】如图点O是等边内一点,,∠ACD=BCOOC=CD

1)试说明:是等边三角形;

2)当时,试判断的形状,并说明理由;

3)当为多少度时,是等腰三角形

【答案】(1)见解析;(2)AOD是直角三角形,理由见解析;(3) 110°125°140°时,△AOD是等腰三角形.

【解析】

1)根据CO=CD,∠OCD=60°,然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形;

2)先求得∠ADC=BOC=α=150°,再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°,于是可计算出∠ADO=90°,由此可判断△AOD是直角三角形;

3)先利用α表示出∠ADO=α-60°,∠AOD=190°-α,再进行分类讨论:当∠AOD=ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°-α=α-60°;当∠AOD=DAO时,△AOD是等腰三角形,即2190°-α+α-60°=180°;当∠ADO=DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°-α+2α-60°=180°,然后分别解方程求出对应的α的值即可.

(1)∵∠ACD=BCO

∴∠ACD+ACO=BCO+ACO=60°

又∵CO=CD

∴△COD是等边三角形;

(2)∵△COD是等边三角形

CO=CD

又∵∠ACD=BCOAC=BC

∴△ACD≌△BCOSAS

∴∠ADC=BOC=α=150°

∵△COD是等边三角形,

∴∠ADC=BOC=α=150°

∵△COD是等边三角形,

∴∠CDO=60°

∴∠ADO=ADCCDO=90°

∴△AOD是直角三角形;

(3)∵△COD是等边三角形,

∴∠CDO=COD=60°

∴∠ADO=α60°,AOD=360°60°110°α=190°α

当∠AOD=ADO,AOD是等腰三角形,190°α=α60°,解得α=125°

当∠AOD=DAO,AOD是等腰三角形,2(190°α)+α60°=180°,解得α=140°

当∠ADO=DAO,AOD是等腰三角形,190°α+2(α60°)=180°,解得α=110°

综上所述,BOC的度数为110°125°140°时,△AOD是等腰三角形.

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