Question

【题目】（1）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°+∠A；

（2）如图2，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．

（3）如图3，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BPC=90°∠A，理由见解析；（3）2∠BEC=∠A.

【解析】

（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；

（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-∠A；

（3）根据CE为∠ABC的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），两式联立可得2∠BEC=∠A．

(1)证明：在△BOC中，

∵∠BOC=180°∠OBC∠OCB，

∴2∠BOC=360°2∠OBC2∠OCB，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°(∠ABC+∠ACB)，

∵∠ABC+∠ACB=180°∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A；

(2)∠BPC=90°∠A.

证明：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线,∠A为x°，

∴∠BCP= (∠A+∠ABC)、∠PBC= (∠A+∠ACB)，

由三角形内角和定理得,∠BPC=180°∠BCP∠PBC=180° [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180° (∠A+180°)=90°∠A；

(3)2∠BEC=∠A.

证明：∵CE为∠ACB的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，两角平分线交于点E，

∴∠1=∠2,∠ABE= (∠A+2∠1),∠3=∠4,

在△ACF中,∠A=180°∠1∠3

∴∠1+∠3=180°∠A①

在△BEF中,∠E=180°∠4∠ABE=180°∠3 (∠A+2∠1)，

即2∠E=360°2∠3∠A2∠1=360°2(∠1+∠3)∠A②，

把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A.