Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点P在射线AC上（点P与点A、点C不重合），点D在线段BC的延长线上，且AP＝CD，△PCD′与△PCD关于直线AC对称．

（1）如图1，当点P在线段AC上时，

①求证：PB＝PD；

②请求出∠BPD′的度数；

（2）当点P在射线AC上运动时，请直接回答：

①PB＝PD是否仍然成立？

②∠BPD′的度数是否发生变化？

（3）将△PCD′绕点P顺时针旋转，在旋转的过程中，PD′与PB能否重合？若能重合，请直接写出旋转的角度；若不能重合，请说明理由；

（4）若AB＝4，当点P为AC边的中点时，请直接写出PD'的长

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②60°；（2）①成立，理由见解析；②∠BPD′的度数不发生变化，理由见解析；（3）PD′与PB能重合，旋转的角度为60°；（4）PD'＝2

【解析】

（1）①过点P作PE∥BC交AB于E，易证△APE是等边三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD，从而得：△BPE≌△PDC，即可得到结论；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，进而得∠PBE＝∠D'PC，由∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，即可得到结论；

（2）①过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，易证△APE是等边三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD＝60°，得△BPE≌△PDC（SAS），即可得到结论；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，进而得∠PBE＝∠D'PC，即可得到结论.

（3）由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，即可得到结论；

（4）由△ABC是等边三角形，点P是AC的中点，得AP＝2，BP⊥AC，根据勾股定理得BP的值，进而即可得到答案.

（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

过点P作PE∥BC交AB于E，如图1，

∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，

∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴AP＝PE，

∴AB﹣AE＝AC﹣AP，

∴BE＝PC，

∵AP＝CD，

∴PE＝CD，

∵∠BEP＝180°﹣∠AEP＝120°，∠PCD＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠BEP＝∠PCD，

∴△BPE≌△PDC（SAS），

∴PB＝PD；

②由①知，△BPE≌△PDC，

∴∠PBE＝∠DPC，

∵△PCD′与△PCD关于直线AC对称，

∴∠DPC＝∠D'PC，

∴∠PBE＝∠D'PC，

∵∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，

∴∠BPD'＝∠BPC﹣∠D'PC＝60°；

（2）①PB＝PD仍然成立，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠DCP＝60°

过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，如图2，

∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，

∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴AP＝PE，

∴AE﹣AB＝AP﹣AC，

∴BE＝PC，

∵AP＝CD，

∴PE＝CD，

∵∠BEP＝∠PCD＝60°

∴△BPE≌△PDC（SAS），

∴PB＝PD；

②∠BPD′的度数不发生变化，理由如下：

由①知，△BPE≌△PDC，

∴∠PBE＝∠DPC，

∵△PCD′与△PCD关于直线AC对称，

∴∠DPC＝∠D'PC，

∴∠PBE＝∠D'PC，

∴∠BPD'＝∠D'PC﹣∠BPC＝∠PBE﹣∠BPC

＝∠PBE﹣（∠APE﹣∠BPE）

＝∠PBE﹣（60°﹣∠BPE）

＝∠PBE+∠BPE﹣60°

＝180°﹣∠AEP﹣60°

＝180°﹣60°﹣60°

＝60°；

（3）∵由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，

∴将△PCD′绕点P顺时针旋转，在旋转的过程中，PD′与PB能重合，

∴旋转的角度为60°；

（4）如图3，由（1）知，BP＝PD，由对称得，PD＝PD'，

∴BP＝PD'，

∵△ABC是等边三角形，点P是AC的中点，

∴AP＝AC＝AB＝2，BP⊥AC，

∴∠APB＝90°，

在Rt△ABP中，根据勾股定理得，BP＝，

∴PD'＝2．