【题目】如图,顶点为的二次函数图象与x轴交于点,点B在该图象上,交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接、.
(1)求该二次函数的关系式.
(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:
①连接,当时,请判断的形状,并求出此时点B的坐标.
②求证:.
【答案】(1)二次函数的关系式为;(2)①是等腰直角三角形,此时点B坐标为;②见解析
【解析】
(1)利用待定系数法即可得到答案;
(2)①设,由点的对称性得到,再由勾股定理得到答案;②设直线与x轴交于点D,求得直线解析式,再结合题意即可得到答案.
解:(1)∵二次函数顶点为
∴设顶点式
∵二次函数图象过点
∴,解得:
∴二次函数的关系式为
(2)设
∴直线解析式为:
∵交对称轴l于点M
∴当时,
∴
∵点M、N关于点P对称
∴,
∴,即
①∵
∴
∴
解得:
∴
∴,
∴,,B
∴,
∴是等腰直角三角形,此时点B坐标为.
②证明:如图,设直线与x轴交于点D
∵、
设直线解析式为
∴ 解得:
∴直线:
当时,,解得:
∴
∵,轴
∴垂直平分
∴
∴
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【题目】京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式,现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“红脸”,另外一张卡片的正面图案为“黑脸”,卡片除正面图案不同外,其余均相同,将这三张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率(图案为“红脸”的两张卡片分别记为、,图案为“黑脸”的卡片记为).
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【题目】重庆渴乐自驾游公司在元旦节推出四条自驾线路,为调查客户对各条线路的喜欢情况,微信群里做了一次“我最期待的自驾线路”问卷调查(群里每个人都进行了调查且只选择一条线路),统计后发现选湘西的人数比选毕棚沟的少6人;选邛海的人数不仅比选毕棚沟的多,且为整数倍:选毕棚沟与邛海的人数之和是选择湘西和北海的人数之和的4倍;选北海和邛海的人数之和比选湘西与毕棚沟的人数之和多22人,则该微信群里参与调查的共_____人.
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【题目】已知△ABC是等边三角形,点P在射线AC上(点P与点A、点C不重合),点D在线段BC的延长线上,且AP=CD,△PCD′与△PCD关于直线AC对称.
(1)如图1,当点P在线段AC上时,
①求证:PB=PD;
②请求出∠BPD′的度数;
(2)当点P在射线AC上运动时,请直接回答:
①PB=PD是否仍然成立?
②∠BPD′的度数是否发生变化?
(3)将△PCD′绕点P顺时针旋转,在旋转的过程中,PD′与PB能否重合?若能重合,请直接写出旋转的角度;若不能重合,请说明理由;
(4)若AB=4,当点P为AC边的中点时,请直接写出PD'的长
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,对称轴为直线,点的坐标为.
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)点为抛物线上一点(不与点重合),联结.当时,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点,点的对应点为点,当时,求抛物线平移的距离.
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【题目】如图,路灯下,广告标杆AB的影子是BC,小明(用线段DE表示)的影子是EF,在M处有一棵树,它的影子是MN.
(1)请在图中画出表示树高的线段.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若已知点N、F到路灯的底部距离相等,小明身高1.6米,影长EF为1.8米,树的影长MN是6米,请计算树的高度.
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【题目】如图,直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上,点F在AC上,∠DFC=∠AEB.
(1)求证:△ADF∽△CAE;
(2)当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时,求BC的长?
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【题目】问题的提出:
如果点P是锐角△ABC内一动点,如何确定一个位置,使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小?
问题的转化:
(1)把ΔAPC绕点A逆时针旋转60度得到连接这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了,请你利用如图证明:
;
问题的解决:
(2)当点P到锐角△ABC的三项点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时,请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置:_____________________________;
问题的延伸:
(3)如图是有一个锐角为30°的直角三角形,如果斜边为2,点P是这个三角形内一动点,请你利用以上方法,求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.
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【题目】如图,点C在⊙O上,联结CO并延长交弦AB于点D, ,联结AC、OB,若CD=40,AC=20.
(1)求弦AB的长;
(2)求sin∠ABO的值.
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