Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，过点A作AD∥BC，连结BD交AC于点E，且ED=2AB．求证：∠ABE=2∠EBC．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=DF=

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DE，根据等角对等边可得∠D=∠DAF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AFB=2∠D，根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC=∠D，再求出AB=AF，根据等边对等角可得∠ABE=∠AFB，等量代换即可得证．

解答：证明：如图，取DE的中点F，连接AF，
∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠C=90°，
∴AF=DF=

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DE，
∴∠D=∠DAF，
由三角形的外角性质得，∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠D，
∵ED=2AB，
∴AB=

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DE，
∴AB=AF，
∴∠ABE=∠AFB，
∴∠ABE=2∠EBC．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．