Question

【题目】阅读材料：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， ，利用上述结论可以求解如下题目：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．

解：在△ABC中，∵

∴b=.

理解应用：

如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．

（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；

（2）求乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

【答案】（1）△A1A2B2是等边三角形，理由见解析；（2）海里．

【解析】试题分析：（1）△A1A2B2是等边三角形，先计算出A1A2的长度，再结合A2B2的长度和∠A1A2B2的度数不难证明△A1A2B2是等边三角形；（2）过点B作B1N∥A1A2，可求出∠A1B1N=75°，进而求出∠A1B1B2=60°，接下去求出∠B1A1B2=45°，由阅读材料可知=,可求出B1B2的长度，不难求出乙的速度.

试题解析：

解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下：

连结A1B2．

∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，

∴A1A2=30×=10，

又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，

∴△A1A2B2是等边三角形；

（2）过点B作B1N∥A1A2，如图，

∵B1N∥A1A2，

∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，

∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．

∵△A1A2B2是等边三角形，

∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，

∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．

在△B1A1B2中，

∵A1B2=10，∠B1A1B2=45°，∠A1B1B2=60°，

由阅读材料可知， =，

解得B1B2==，

所以乙船每小时航行： ÷=20海里．