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【题目】已知:正方形中,绕点顺时针旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于点

绕点旋转到时(如图1),易证

1)当绕点旋转到时(如图2),线段之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.

2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

【答案】1,证明见解析(2

【解析】

(1)BM+DN=MN成立,证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM,从而证得ME=MN.

(2)DN-BM=MN.证明方法与(1)类似.

1BM+DN=MN成立.

证明:如图,把ADN绕点A顺时针旋转90°,得到ABE,则可证得EBM三点共线.

∴∠EAM=90°-NAM=90°-45°=45°

又∵∠NAM=45°

∴在AEMANM中,

∴△AEM≌△ANMSAS),

ME=MN

ME=BE+BM=DN+BM

DN+BM=MN

2DN-BM=MN

在线段DN上截取DQ=BM,如图,

ADQABM中,

∴△ADQ≌△ABMSAS),

∴∠DAQ=BAM

∴∠QAN=MAN

AMNAQN中,

∴△AMN≌△AQNSAS),

MN=QN

DN-BM=MN

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