Question

【题目】如图，内接于⊙，，∥交的延长线于点．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，．

①求的度数；

②求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①；②

【解析】

（1）由，得到∠O=90°，由∥得到∠ODB=∠O，根据切线的判定定理得到结论；
（2）①先求出∠CBD和∠ACB的度数，即可求出的度数；

②如图，过点C分别作CF⊥AB,CE⊥BD, 先求出CD和AC的长，再求的长即可.

解：（1）证明：∵∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，

∵BD∥OC，

∴∠BOC+∠OBD＝180°，

∴∠OBD＝90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）①∵OC=OB,∠O＝90°，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵∠OBD＝90°，

∴∠CBD＝45°，

∵，

∴∠ABC＝60°

在△ABC中，,∠ABC＝60°

∴∠ACB＝75°，

∴∠D=∠ACB-∠CBD=75°-45°=30°；

②如图，过点C分别作CF⊥AB于点F，CE⊥BD于点E,

∵∠OBC＝45°, ,

∴CE=BC·sin∠CBE=2,

∵∠D＝30°,

∴CD=2CE=4,

在△FBC中，∠FBC＝60°, ,

∴CF=BC·sin∠CBF=,

在△ACF中，∠A＝45°,

∴AC==,

∴AD=AC+CD=.