Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线表达式；

（2）在第二象限的抛物线上有一点，且点到线段的距离为，求点的坐标；

（3）矩形的边在轴的正半轴，在第一象限，，，将矩形沿轴负方向平移，直线、分别交抛物线于、．问：是否存在实数，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P点坐标为（-1,4）或（-2,3）；（3）t= ；

【解析】

（1）待定系数法即可求得抛物线方程；

（2）作PD⊥x轴交直线于点D，交AC于点E，连接PA，PC，设P（t，-t-2t+3），由三角形面积公式可得S△PAC=S△PEA+S△PEC=+==t-t==,所以t-t=3，解得方程即为P点横坐标，即可求得；

（3）假设存在t，如下图，根据函数坐标列出DG，FH的值，令DG=FH，解得t即可.

（1）在中，令，则；

令，则；

∴，

∵抛物线经过、两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为，

（2）如图，

作PD⊥x轴交直线于点D，交AC于点E，连接PA，PC，

设P（t，-t-2t+3），

则D点坐标为（t，0），E（t，t+3），

∴PE=PD-DE=-t-2t+3-t-3=-t-3t，

∴S△PAC=S△PEA+S△PEC=+

==

=(-t-3t)×3=t-t，

又∵S△PAC===3,

∴t-t=3，解得t=-1或t=-2，

∴P点坐标为（-1,4）或（-2,3）；

（3）假设存在实数，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，B点平移到M点位置，

∴M点坐标为（1-t，0），D（1-t，2），G（1-t，-t+4t），

∴DG=-t-4t+2，

同理，F（4-t，0），H（4-t，-t+10t-21），

∴HF=-t+10t-21，

∵四边形DGFH是平行四边形，DG∥FH，

∴DG=FH，

∴-t-4t+2=-t+10t-21，解得t=，

∴存在实数= ，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.