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【题目】已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线y=x+3x轴交于点D.

(Ⅰ)求抛物线的顶点C的坐标及A,B两点的坐标;

(Ⅱ)将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度,再向左平移t(t>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点EDAC内,求t的取值范围;

(Ⅲ)点P(m,n)(﹣3<m<1)是抛物线y=x2﹣6x+9上一点,当PAB的面积是ABC面积的2倍时,求m,n的值.

【答案】(I)C(3,0),B(1,4)A(6,9);(II)<t<5;(III)

【解析】分析:Ⅰ)将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标联立抛物线与直线的解析式即可求出AB的坐标.

Ⅱ)由题意可知新抛物线的顶点坐标为(3t1),然后求出直线AC的解析式后将点E的坐标分别代入直线ACAD的解析式中即可求出t的值从而可知新抛物线的顶点E在△DACt的取值范围.

Ⅲ)直线ABy轴交于点F连接CF过点PPMAB于点MPNx轴于点NDB于点G由直线y=x+3x轴交于点Dy轴交于点FD(﹣30),F03),易得CFABPAB的面积是△ABC面积的2所以ABPM=ABCFPM=2CF=6从而可求出PG=12利用点G在直线y=x+3Pmn),所以Gmm+3),所以PG=n﹣(m+3),所以n=m+15由于Pmn)在抛物线y=x26x+9联立方程从而可求出mn的值.

详解:(Iy=x26x+9=(x32∴顶点坐标为(30).

联立

解得

II)由题意可知新抛物线的顶点坐标为(3t1),设直线AC的解析式为y=kx+b

A14),C30)代入y=kx+b

解得

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6

当点E在直线AC上时,﹣23t+6=1解得t=

当点E在直线AD上时span>,(3t+3=1解得t=5

∴当点E在△DAC内时t5

III)如图直线ABy轴交于点F连接CF过点PPMAB于点MPNx轴于点NDB于点G

由直线y=x+3x轴交于点Dy轴交于点F

D(﹣30),F03),OD=OF=3

∵∠FOD=90°,∴∠OFD=ODF=45°.

OC=OF=3FOC=90°,

CF==3OFC=OCF=45°,

∴∠DFC=DFO+∠OFC=45°+45°=90°,CFAB

∵△PAB的面积是△ABC面积的2ABPM=ABCF

PM=2CF=6

PNxFDO=45°,∴∠DGN=45°,∴∠PGM=45°.

RtPGMsinPGM= PG===12

∵点G在直线y=x+3Pmn), Gmm+3).

3m1∴点P在点G的上方PG=n﹣(m+3),n=m+15

Pmn)在抛物线y=x26x+9

m26m+9=nm26m+9=m+15解得m=

3m1m=不合题意舍去m=n=m+15=

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路程(千米)

运费(元/千米)

甲库

乙库

甲库

乙库

A

20

15

12

12

B

25

20

10

8

若从甲库运往A库粮食x吨,

(Ⅰ)填空(用含x的代数式表示):

①从甲库运往B库粮食   吨;

②从乙库运往A库粮食   吨;

③从乙库运往B库粮食   吨;

(Ⅱ)写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库的总运费y(元)与x(吨)的函数关系式,并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少?

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