Question

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若抛物线的顶点为点D，求△BCD的面积；
（3）设M是（1）所得抛物线上第四象限内的一个动点，过点M作直线l⊥x轴交于点F，交直线BC于点N．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点在抛物线上，将点的坐标代入即可求得抛物线解析式；
（2）根据图形的关系，找出△BCD的面积为直角梯形面积减去两个直角三角形的面积，套入坐标即可求得；
（3）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来MN的长度，根据二次函数极值问题即可解决问题．

解答 解：（1）将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3，
所以二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．
（2）由y=（x-1）²-4得顶点D（1，-4），过D点做DP⊥y轴，垂足为点P，则P（0，-4），如图

四边形DPOB为直角梯形，△BOC与△DPC均为直角三角形，
△BCD的面积=梯形DPOB的面积-△BOC的面积-△DPC的面积
=$\frac{1}{2}$（OB+PD）×OP-$\frac{1}{2}$PC×PD-$\frac{1}{2}$CO×OB
又∵O（0，0），C（0，-3），B（3，0），D（1，-4），P（0，-4），
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$×（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×3=3．
（3）设直线BC的关系式为y=kx+n，
将B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+n得
$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3k+n=0}\end{array}\right.$，解得k=1，n=-3，
∴直线BC的关系式为y=x-3．
设M（m，m²-2m-3），则N（m，m-3），
∴MN=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-${（m-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$
∴当m=$\frac{3}{2}$时，线段MN长度有最大值$\frac{9}{4}$，此时M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是学会拆分法求图形面积，并会借助二次函数求极值来解决问题．