Question

5．已知双曲线y=$\frac{k}{x}$上有两点A（-1，-2），B（1，a），直线y=-x+a，P是双曲线第一象限上一动点．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交直线y=-x+a于Q点，设△PQO的面积为S，S是否存在最小值？若存在则求出最小值，没有则说明理由．
（3）设R（a，a），P点到直线y=-x+a的距离为d，求证：$\frac{PR}{d}$的值为定值．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值，从而得到反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$；然后把B（1，a）代入y=$\frac{2}{x}$得a=2，于是可确定一次函数解析式为y=-x+2；
（2）设P（t，$\frac{2}{t}$），再表示出Q（t，-t+2），则PQ=$\frac{2}{t}$+t-2，利用三角形面积公式得到S=$\frac{1}{2}$t²-t+1，然后利用二次函数的性质求S的最小值；
（3）过点P作PH⊥直线y=-x+2于H，如图，R（2，2），设P（t，$\frac{2}{t}$），先利用以次函数y=-x+2的直线判断∠PQH=45°，则△PHQ为等腰直角三角形，所以PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{t}$+t-2），再利用两点间的距离公式得到PR=$\sqrt{（t-2）^{2}+（\frac{2}{t}-2）^{2}}$，利用完全平方公式表示得到PR=$\sqrt{[（t+\frac{2}{t}）-2]^{2}}$，则PQ=$\frac{2}{t}$+t-2，然后可计算$\frac{PR}{d}$=$\sqrt{2}$．

解答 （1）解：把A（-1，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-1×（-2）=2
所以反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$；
把B（1，a）代入y=$\frac{2}{x}$得a=2，
所以一次函数解析式为y=-x+2；
（2）解：S有最小值．
设P（t，$\frac{2}{t}$），
∵PQ∥y轴，
∴Q点的横坐标为t，
当x=t时，y=-x+2=-t+2，则Q（t，-t+2），
∴PQ=$\frac{2}{t}$-（-t+2）=$\frac{2}{t}$+t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$•t•（$\frac{2}{t}$+t-2）=$\frac{1}{2}$t²-t+1，
∵S=$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴当t=1时，S有最小值，最小值为$\frac{1}{2}$；
（3）证明：过点P作PH⊥直线y=-x+2于H，如图，R（2，2），设P（t，$\frac{2}{t}$），
∵直线y=-x+2可看作直线y=-x向上平移2个单位得到，
∴直线y=-x+2与x轴的正方向的夹角为45°，
∴∠PQH=45°，
∴△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，
即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{2}{t}$+t-2），
∵PR=$\sqrt{（t-2）^{2}+（\frac{2}{t}-2）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+\frac{4}{{t}^{2}}-4t-\frac{8}{t}+8}$=$\sqrt{（t+\frac{2}{t}）^{2}-4（t+\frac{2}{t}）+4}$=$\sqrt{[（t+\frac{2}{t}）-2]^{2}}$=$\frac{2}{t}$+t-2，
∴$\frac{PR}{d}$=$\frac{t+\frac{2}{t}-2}{\frac{\sqrt{2}}{2}（t+\frac{2}{t}-2）}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{PR}{d}$的值为定值．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会运用二次函数的性质求最大或最小值；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用完全平方公式进行代数式的变形．