Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以AB为直径作半圆O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，BE交⊙O于点F，AF的延长线与DE相交于点P．若OA=l，则EB=$\sqrt{7}$，PE=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出AC，证明AE=EC，在RT△AEB中可以解决问题．
（2）如图过点D作MN⊥AB，交AP的延长线于N，由DN∥AE得$\frac{PE}{PD}$=$\frac{AE}{DN}$，求出DN就可以了．

解答 解：①连接OD，
∵∠C=30°，∠BAC=90°，
∴∠ABC=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵BA⊥AC，
∴AE是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴AE=DE，∠AED=60°，
∵∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠CDE=30°，
∴CE=DE，
∵OA=1，
∴AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AE=EC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
②如图过点D作MN⊥AB，交AP的延长线于N，连接AD．
在RT△ABC中，∵∠C=30°，AB=2
∴BC=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{1}{2}$•AB•AC，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠CAD=60°，∠DAM=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠FAB+∠ABE=90°，∠AEB+∠B=90°，
∴∠AEB=∠MAN，
∵∠AMN=∠EAB，
∴△AMN∽△EAB，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{AM}{AE}$，
∴$\frac{MN}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$，
∴MN=3，DN=MN-DM=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DN∥AE，
∴$\frac{DN}{AE}$=$\frac{PD}{PE}$，
∴$\frac{3-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-PE}{PE}$，
∴PE=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理、平行成比例等知识，利用平行成比例添加辅助线是解决问题的关键．