Question

2．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点D，E在斜边AC上，且满足AE=4，BD=3，∠DCE=45°，则DE的长度为（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 如图，将△ACE绕点C逆时针旋转90°到△CBF的位置；证明∠A=∠ABC=∠CBF=45°，得到DF²=AE²+BD²，进一步证明△ECD≌△FCD，得到DE=DF，得出DE²=AE²+BD²解决问题．

解答 解：如图，

将△AEC绕点C逆时针旋转90°到△CBF的位置；
则CD=CF，AE=BF；∠BCF=∠ACE，∠CBF=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°，
∴∠DBF=90°DEF²=BD²+BF²=AE²+BD²；
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°-45°=45°，而∠ACE=∠BCF，
∴∠DCF=∠DCE=45°；
在△DCE与△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECD=∠FCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，
∴DE²=AE²+BD²=4²+3²=25，
∴DE=5．
故选：C．

点评 此题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理；解题的关键是作旋转变换，把问题转换，进一步利用三角形全等的判定与性质以及勾股定理解决问题．