Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（0，3），B（1，0），现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点C．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=$\frac{1}{4}$．
①求点C的坐标及该抛物线的表达式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点D（2，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①过点C作CD⊥x轴于点D，可证△AOB≌△BDC，进一步求出点C的坐标，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
②根据∠POB=∠BAO，求出点P所在的直线解析式，与抛物线联立为方程组，求出方程组的解，即可得到点P的坐标；
（2）根据抛物线经过点D，C，判断出抛物线的对称轴，用a表示抛物线的解析式，并得到顶点坐标，根据题意分a＞0，和a＜0时分类讨论即可求解．

解答 解：（1）①如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D．

∵CD⊥x轴，
∴∠CDB=∠BOA=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°．
又∵∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD．
由旋转的性质可知：AB=BC．
在△AOB和△BDC中$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠BOA}\\{∠ABO=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BDC．
∴BD=OA=3，CD=OB=1．
∵A（0，3），B（1，0），
∴C（4，1）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，且a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+bx．
将点C的坐标代入得：$\frac{1}{4}$×16+4b=1，解得b=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$．
②在坐标平面内取点E（3，1），F（3，-1），作射线OE、OF，分别交抛物线与点P′、点P．

由①可知：OA=3，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{1}{3}$．
∵点E的坐标为（3，1），
∴tan∠EOB=$\frac{1}{3}$．
∴∠EOB=∠BAO．
∵∠POB=∠BAO，
∴点P在射线OE上．
设射线OE的解析式为y=kx，将点的坐标代入得：3k=1，解得：k=$\frac{1}{3}$，
直线OE的解析式为y=$\frac{1}{3}x$．
将y=$\frac{1}{3}x$与y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$联立解得：x=$\frac{13}{3}$，y=$\frac{13}{9}$．
∴点P′的坐标为（$\frac{13}{3}$，$\frac{13}{9}$）．
同理可知直线OF的解析式为y=-$\frac{1}{3}x$．
将y=-$\frac{1}{3}x$与y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x$联立解得：x=$\frac{5}{3}$，y=-$\frac{5}{9}$．
∴点P′的坐标为（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{9}$）．
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵抛物线经过点C（4，1），D（2，1），
∴抛物线的对称轴为x=3．
∴x=-$\frac{b}{2a}$=3．
∴b=-6a．
∵将点D的坐标代入得：4a+2b+c=1，
∴c=8a+1．
∴抛物线的解析式为y=ax²-6ax+8a+1．
当x=3时，y=-a+1．
∴抛物线顶点为（3，-a+1）
∵∠QOB=∠BAO，
∴由（1）②可知点Q在射线OE或OF上．
∵符合条件的点Q有4个，
∴射线OE与OF与抛物线各有两个交点．
①若a＞0时，
直线OE的解析式为y=$\frac{1}{3}x$．
直线OF的解析式为y=-$\frac{1}{3}x$．
分别联立抛物线，消去y得到关于x的方程：
$a{x}^{2}-（6a+\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由题意得：△=4a²+$\frac{1}{9}$恒大于0，此时与直线OE恒有两个交点；
$a{x}^{2}-（6a-\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由题意，△=4a²-8a+$\frac{1}{9}$＞0，x₁+x₂=$\frac{6a-\frac{1}{3}}{a}$＞0，x₁•x₂=$\frac{8a+1}{a}$＞0，
解得：a＞1+$\frac{\sqrt{35}}{6}$；
②若a＜0时，
直线OE的解析式为y=$\frac{1}{3}x$．
直线OF的解析式为y=-$\frac{1}{3}x$．
分别联立抛物线，消去y得到关于x的方程：
$a{x}^{2}-（6a+\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由题意得：△=4a²+$\frac{1}{9}$恒大于0，此时与直线OE恒有两个交点；
$a{x}^{2}-（6a-\frac{1}{3}）x+8a+1=0$，
由题意，△=4a²-8a+$\frac{1}{9}$＞0，x₁+x₂=$\frac{6a-\frac{1}{3}}{a}$＞0，x₁•x₂=$\frac{8a+1}{a}$＞0，
解得：a＜-$\frac{1}{8}$；
综上所述：若符合条件的Q点的个数是4个，a＞1+$\frac{\sqrt{35}}{6}$或a＜-$\frac{1}{8}$．

点评 此题主要考查二次函数综合性问题，会用全等的知识求线段，并会用线段表示点的坐标，会运用待定系数法求函数解析式，联立解析式求方程组的解，进一步求出交点的坐标，会分类讨论解决问题是解决此题的关键．