Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（2，0），点C（6，0），（点B在点C的左侧），过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0），把以上三点的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=4a+2b+c}\\{0=36a+6b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
∵抛物线交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）．
∴对称轴x=$\frac{2+6}{2}$=4，
∴OB=2，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，
解得：CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识，正确利用数形结合是解题关键．