Question

【题目】如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，，过点作，交直线于点．点从点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．

(1)求证：；

(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)面积的最大值是50．

【解析】

（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；

（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD的长可得x的取值；

（3）根据（2）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论．

(1)证明：过作，交于，交于，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴0≤x≤5，

由题意得：BE=2x，

∴BN=EN=x，

由（1）知：AE=EF=EC，

分两种情况：

①当0≤x≤时，如图1，

∵AB=MN=10，

∴ME=FN=10-x，

∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，

∴y；

②当＜x≤5时，如图2，过E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，

∴FN=CN=10-x，

∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，

∴y=；

综上，y与x之间关系的函数表达式为：；

（3）解：①当0≤x≤时，如图1，

，

∵-2＜0，

∴当x=时，y有最大值是；

②当＜x≤5时，如图2，

∴y=2x2-5x=2（x-）2-，

∵2＞0，

∴当x＞时，y随x的增大而增大

∴当x=5时，y有最大值是50；

综上，△BEF面积的最大值是50．