Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知三个点A（1，0），B（2，-1），C（0，3），求∠OCA+∠OCB的度数．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,坐标与图形性质

专题：

分析：作点B关于OC的对称点B′（-2，-1），连接B′C，B′A，根据对称的性质得出∠OCB=∠OCB′，即可得出∠OCA+∠OCB=∠OCA+∠OCB′=∠B′CA，
求得CA、CB′、B′A的平方，即可求得△B′CA为等腰直角三角形，从而求得答案．

解答：解：作点B关于OC的对称点B′，
∵B（2，-1），
∴B′（-2，-1）
连接B′C，B′A，
则∠OCB=∠OCB′，
∴∠OCA+∠OCB=∠OCA+∠OCB′=∠B′CA，
∵A（1，0），B′（-2，-1），C（0，3），
∴在三角形B′CA中，CA²=1¹+3²=10，CB′ 2 =2²+（3+1²）=20，B′A²=（1+2）²+1²=10，
∴CA²+=B′A²=CB′ 2 ，
∴△B′CA为等腰直角三角形
所以∠OCA+∠OCB的度数为45°．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定，轴对称的性质，作出辅助线构建等腰直角三角形是本题的关键．