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【题目】如图,在矩形ABCD中,EAB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,联结AP并延长APCDF点,

1)求证:四边形AECF为平行四边形;

2)如果PA=PC,联结BP,求证:△APBEPC

【答案】1)见解析;(2)见解析.

【解析】

1)由折叠的性质得到EC垂直平分BP,根据EAB中点,得到AE=EB,根据EQ为△ABP的中位线,得出AFEC即可;

2)由翻折性质∠EPC=∠EBC=,∠PEC=∠BEC再求出AEP为等边三角形即可求解.

解:(1)证明:由折叠得到EC垂直平分BP

ECBP交于Q,∴BQ=EQ

EAB的中点, ∴AE=EB

EQ为△ABP的中位线,∴AFEC

AEFC, ∴四边形AECF为平行四边形;

2)∵AFEC,∴∠APB=∠EQB=90°

由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°,∠PEC=∠BEC

E为直角△APB斜边AB的中点,且AP=EP

∴△AEP为等边三角形 , ∠BAP=∠AEP=60°,

在△ABP和△EPC中, ∠BAP=∠CEP,∠APB=∠EPCAP=EP

∴△ABP≌△EPCAAS),

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