Question

【题目】如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°求△AMN的周长．

Answer 1

【答案】2.

【解析】

延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．

延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）

∵BD=DC，∠BDC=120°，

∴∠CBD=∠BCD=30°，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，

∴△BMD≌△CDE，

∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，

又∵∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠NDC=60°，

∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，

又∵DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，

所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．