Question

14．在直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径作圆，该圆上到直线y=x+$\sqrt{2}$的距离等于3的点的坐标为（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而利用直线与坐标轴交点求法以及锐角三角函数关系得出P点坐标，再利用圆的标准方程求出符合题意的另两个点即可．

解答 解：如图所示：过点O作OD⊥BC交⊙O于点P，过点P作PA⊥x轴于点A，
∵直线y=x+$\sqrt{2}$，当y=0时，x=-$\sqrt{2}$，x=0时，y=$\sqrt{2}$，
∴CO=BO=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，则DO=1，
∵OP=4，
∴PD=3，
∴P点到直线BC的距离为3，
则PA=AO=PO•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PO=2$\sqrt{2}$，
故P点坐标为：（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
当P点在直线y=x+$\sqrt{2}$的下方，此时有两个符合题意的点，
如图所示：过点M作MN⊥BC于点N，
此时P′P″∥BC，
故设直线P′P″的解析式为：y=x+b，
∵MN=3，则BM=3$\sqrt{2}$，
∴MO=2$\sqrt{2}$，
∴直线P′P″的解析式为：y=x-2$\sqrt{2}$，
∵圆的标准方程为：x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r为：4；
故x²+y²=16，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{6}}\\{{y}_{1}=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{6}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{6}-\sqrt{2}}\end{array}\right.$
则P′坐标为：（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），P″（$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．
故答案为：（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）、（$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．

点评 此题主要考查了圆的综合以及直线与坐标轴交点求法和锐角三角函数关系等知识，利用数形结合得出P点坐标是解题关键．