Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得BC=20，通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例得到DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠EDQ=∠PDB，得到△PBD∽△QED，求出EQ的值，从而求得CQ的值；如图2，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）如图3所示，由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有$\frac{BP}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，设BP=x，则EQ=$\frac{3}{4}$x，CQ=$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{4}$x，由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．

解答 解：（1）∵∠A=90°，AB=12，AC=16，
∴根据勾股定理得到，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=20，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵DE⊥BC，
∴∠A=∠CDE=90°，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：12=CE：20=10：16，
∴DE=$\frac{15}{2}$，CE=$\frac{25}{2}$；
（2）分两种情况考虑：
如图，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC，
∵∠PDQ=90°，
∴∠QDC+∠PDB=90°，
∵∠QDC+∠EDQ=90°，
∴∠EDQ=∠PDB，
∴△PBD∽△QED，
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，即$\frac{2}{EQ}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=CE-EQ=$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{2}$=11；
如图2，

∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED，
∵∠PDQ=90°
∴∠BPD+∠QDB=90°，
∵∠QDE+∠QDB=90°，
∴∠BDP=∠QDE，
∴△PBD∽△QED，
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，即$\frac{2}{EQ}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=$\frac{25}{2}$+$\frac{3}{2}$=14，
则CQ的长为11或14；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点FF，
∴点P在边AB上，
∵△BPD∽△EQD，
∴$\frac{BP}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$=$\frac{PD}{QD}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
若设BP=x ，则EQ=$\frac{3}{4}$x，CQ=$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{4}$x，
∵cot∠QPD=$\frac{PD}{DQ}$=$\frac{4}{3}$，cotC=$\frac{CD}{ED}$=$\frac{10}{\frac{15}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴∠QPD=∠C，
∵∠PDE=∠CDQ，
∴△PDF∽△CDQ，
∵△PDF为等腰三角形，
∴△CDQ为等腰三角形，
①当CQ=CD时，可得：$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{4}$x=10，
解得：x=$\frac{10}{3}$；
②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，

∴CM=$\frac{1}{2}$CD=5，
∵cos∠C=$\frac{CM}{CQ}$=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$，
∴CQ=$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{4}$x=$\frac{25}{4}$，
解得：x=$\frac{25}{3}$；
③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，如图4所示，

∴CQ=2CN，
∵cos∠C=$\frac{4}{5}$=$\frac{CN}{CD}$=$\frac{CN}{10}$，
∴CN=8，
∴CQ=16，
∴$\frac{25}{2}$-$\frac{3}{4}$x=16，
解得：x=-$\frac{14}{3}$（舍去），
∴综上所述，BP=$\frac{10}{3}$或$\frac{25}{3}$．

点评 此题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．