Question

7．如图，点C在x轴的正半轴上，菱形OCBA的面积为$\sqrt{2}$，点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，点A在直线y=x上，则k的值为（　　）

• A． 1+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先根据直线y=x经过点C，设A点坐标为（a，a），再利用勾股定理算出AO=$\sqrt{2}$a，进而得到CO=CB=AB═AO=$\sqrt{2}$a，再利用菱形的面积公式计算出a的值，进而得到C点坐标，进而得到B点坐标，即可求出k的值．

解答 解：∵直线y=x经过点B，
∴设A（a，a），
∴AO²=2a²，
∴AO=$\sqrt{2}$a，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CO=CB=AB=$\sqrt{2}$a，
∵菱形OABC的面积是$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$a•a=$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴CB=$\sqrt{2}$，A（1，1）
∴B（1+$\sqrt{2}$，1），
∵B（1+$\sqrt{2}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=（1+$\sqrt{2}$）×1=1+$\sqrt{2}$，
故答案为：B．

点评 此题主要考查了待定系数法求反比例函数、菱形的面积公式、菱形的性质、勾股定理；关键是根据菱形的面积求出A点坐标，进而得到B点坐标，即可求出反比例函数解析式．