Question

17．如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AD的长；
（2）当x为何值时，PQ⊥AD？
（3）设CP=x，△PQD的面积为S，求出S与x的函数关系式；当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（4）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点B作BM⊥CD于点M，利用等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，即可得出CM的长，进而得出BC=AD的长；
（2）当PQ⊥AD时，得出∠QPD=30°，DQ=$\frac{1}{2}$PD，即可得出答案；
（3）可通过求△PDQ的面积与x的函数关系式来得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD边上的高=QD•sin60°，由此可根据三角形的面积公式求出S_△PQD与x之间的函数关系式，可根据函数的性质求出S的最大值以及对应的x的值．
（4）假设存在这样的M点，那么DM就是PQ的垂直平分线，可得出QD=PD、PM=AM，然后证PM=PD即可．根据（2）中得出PD、DQ的表达式，可求出x=$\frac{9}{2}$，即P是CD的中点，不难得出△QPD为等边三角形，因此∠QPD=∠C=60°，因此PQ∥CM，即∠DMC=90°，在直角三角形DMC中，P为斜边CD的中点，因此PM=PD，即可得出四边形PDQM是菱形．那么此时根据BM=BC-CM可求出BM的长．

解答 解：（1）如图1，过点B作BM⊥CD于点M，

∵等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，
∴CM=$\frac{1}{2}$×（9-4）=$\frac{5}{2}$，∠CBM=30°，
∴BC=AD=2CM=5；

（2）当PQ⊥AD时，
∵BC=AD，∠C=60°
∴∠D=60°，
∴∠QPD=30°，
∴DQ=$\frac{1}{2}$PD，
$\frac{1}{2}$（9-x）=x，
解得：x=3，
∴当x为3时，PQ⊥AD；

（3）如图2，

∵CP=x，h为PD边上的高，依题意，
△PDQ的面积S可表示为：
S=$\frac{1}{2}PD•h=\frac{1}{2}（9-x）•x•sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（9x-{x}^{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{4}（x-\frac{9}{2}）^{2}+\frac{81\sqrt{3}}{16}$，（0＜x≤5），
由题意知0＜x≤5，
当x=$\frac{9}{2}$时（满足0＜x≤5），${S}_{最大值}=\frac{81\sqrt{3}}{16}$．

（4）如图3，

存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ．
于是9-x=x，x=$\frac{9}{2}$．
此时，点P、Q的位置如图4所示，△PDQ恰为等边三角形．
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，
∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=$\frac{1}{2}$CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC-MC=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道压轴题，也是一道开放探索题，第（3）问是条件开放，第（4）问是结论开放．本题既考查了学生的分析作图能力，又考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．