Question

【题目】如图1，AB＝AC＝2，AD、BE为△ABC的两条高，F为AD上一点，且BD＝DF，连接BF．

（1）求证：BF平分∠ABE；

（2）如图2，延长BE至G点，使BG＝AB，连结GC，取AB的中点H，连结FH、DH．

求证：①△DFH∽△BCG；②若BF＝CG，BF∥CG，连结GF，如图3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）首先证明∠CBE=∠CAD=∠BAD，再证明∠ABF+∠BAD=∠EBF+∠CBE=45°即可解决问题．
（2）①根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明．
②如图3中，连接CF交BG于O．证明四边形BFGC是平行四边形，△BFC是等腰直角三角形即可解决问题．

(1)如图1中，

∵AD、BE为△ABC的两条高，

∴∠ADC=∠BEC=∠ADB=90°，

∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

∵AC=AB，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠BAD，

∴∠BAD=∠CBE，

∵DB=DE，∠BDF=90°，

∴∠DFB=∠DBF=45°，

∵∠DFB=∠FAB+∠FBA，∠DBF=∠CBE+∠EBF，

∴∠FAB+∠FBA=∠CBE+∠EBF，

∴∠ABF=∠EBF，

∴BF平分∠ABE;

(2)①如图2中，

∵∠ADB=90°，AH=HB，

∴DH=AH=BH，

∴∠HAD=∠HDA，

∵∠BAD=∠CBE，

∴∠ADH=∠CBG，

∵，=，，

∴，

∴．

②如图3中，连接CF交BG于O．

∵BF=CG，BF∥CG，

∴四边形BFGC是平行四边形，

∴OF=OC，OB=OG=1，

∵FD垂直平分线段BC，

∴FC=FB，

∵∠FBD=45°，

∴△BFC是等腰直角三角形，

∴BF=2OF，

∵OB=1，

，即

解得：，则，

∴，

∴，

在中，

．