Question

【题目】定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．

（1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴的负半轴于点，求过点的圆 的切线的解析式；

（2）若抛物线（）与直线（）相切于点，求直线的解析式；

（3）若函数的图象与直线相切，且当时，的最小值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或

【解析】

（1）连接，由、可求，即．因为过点的切线，故有，再加公共角，可证，由对应边成比例可求的长，进而得点坐标，即可求直线解析式．

（2）分别把点代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为，直线解析式可消去得．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于的方程有两个相等的实数根，即△，即求得的值．

（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子，可看作关于的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线．分类讨论对称轴在左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在左侧即时，由图象可知时随的增大而增大，所以时取得最小值，把、代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，时即取得最小值，得方程，解得：；③当对称轴在2的右侧即时，由图象可知时随的增大而减小，所以时取得最小值，把、代入即求得的值．

解：（1）如图1，连接，记过点的切线交轴于点

，

，

，

设直线解析式为：

，解得：

过点的的切线的解析式为;

（2）抛物线经过点

，解得：

抛物线解析式：

直线经过点

，可得：

直线解析式为：

直线与抛物线相切

关于的方程有两个相等的实数根

方程整理得：

△

解得：

直线解析式为；

（3）函数的图象与直线相切

关于的方程有两个相等的实数根

方程整理得：

△

整理得：，可看作关于的二次函数，

对应抛物线开口向上，对称轴为直线

当时，的最小值为

①如图2，当时，在时随的增大而增大

时，取得最小值

，方程无解；

②如图3，当时，时，取得最小值

，解得：；

③如图4，当时，在时随的增大而减小

时，取得最小值

，解得：，（舍去）

综上所述，的值为1或．