Question

1．如图，Rt△ABC的斜边AB=1，∠B=α，CD⊥AB，垂足为D点．
（1）用含α三角函数表示线段BD、CD、AD的长度；
（2）通过你的计算的结果或者运算过程，你发现了哪些有关于三角函数的性质或者三角函数的等式？请举一例即可．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根据三角函数的定义得出BC=AB•cosα=cosα，AC=AB•sinα=sinα．在Rt△BCD中，根据三角函数的定义得出BD=BC•cosα=cos²α；CD=BC•sinα=sinαcosα；由同角的余角相等得出∠ACD=∠B=90°-∠BCD=α，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得出AD=AC•sin∠ACD=sin²α；
（2）由AD+BD=AB得出sin²α+cos²α=1；由tan∠B=$\frac{AC}{BC}$得出tanα=$\frac{sinα}{cosα}$．

解答 解：（1）∵Rt△ABC的斜边AB=1，∠B=α，
∴BC=AB•cosα=cosα，AC=AB•sinα=sinα．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，
∴BD=BC•cosα=cosα•cosα=cos²α；
CD=BC•sinα=sinαcosα；
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACD=∠B=90°-∠BCD=α，
∴AD=AC•sin∠ACD=sinα•sinα=sin²α；

（2）∵AD+BD=AB，
∴sin²α+cos²α=1；
∵在Rt△ABC中，tan∠B=$\frac{AC}{BC}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$．

点评 本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了同角的余角相等的性质．