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    13．如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=$\sqrt{3}$，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x．
    （1）求证：四边形ABHP是菱形；
    （2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．

    分析 （1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．
    （2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上，当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，进而可求出x=2．

    解答 （1）证明：连接OH，如图①所示．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
    ∵HP∥AB，
    ∴∠ANH+∠BAD=180°．
    ∴∠ANH=90°．
    ∴HN=PN=$\frac{1}{2}$HP=$\frac{3}{2}$．
    ∵OH=OA=$\sqrt{3}$，
    ∴sin∠HON=$\frac{HN}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
    ∴∠HON=60°
    ∵BD与⊙O相切于点H，
    ∴OH⊥BD．
    ∴∠HDO=30°．
    ∴OD=2$\sqrt{3}$．
    ∴AD=3$\sqrt{3}$．
    ∴BC=3$\sqrt{3}$．
    ∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
    ∴tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AB}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
    ∴AB=3．                         
    ∵HP=3，
    ∴AB=HP．
    ∵AB∥HP，
    ∴四边形ABHP是平行四边形．       
    ∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，
    ∴BA与⊙O相切于点A．             
    ∵BD与⊙O相切于点H，
    ∴BA=BH．                         
    ∴平行四边形ABHP是菱形．

    （2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上． 理由如下：
    解：如图②所示，点G落到AD上．  
    ∵EF∥BD，
    ∴∠FEC=∠CDB．
    ∵∠CDB=90°-30°=60°，
    ∴∠CEF=60°．
    由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
    ∴∠GED=60°．
    ∵CE=x，
    ∴GE=CE=x．ED=DC-CE=3-x．
    ∴cos∠GED=$\frac{ED}{GE}$=$\frac{3-x}{x}=\frac{1}{2}$．
    ∴x=2．                                 
    ∴GE=2，ED=1．
    ∴GD=$\sqrt{3}$．
    ∴OG=AD-AO-GD=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
    ∴OG=OM．
    ∴点G与点M重合．                       
    此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
    ∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．

    点评 本题考查了和圆有关的综合题以及矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．

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    （1）$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=8}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$                       
    （2）$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=7}\\{1-3x=\frac{y-1}{2}}\end{array}\right.$．

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