Question

已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）探索：在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）将A坐标代入y=ax中，得：2=3a，即a=，
∴正比例函数解析式为y=x，
将A坐标代入y=中，得：2=，即k=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）将两函数解析式联立得：，
解得：或，
∴A（3，2），B（-3，-2），
由函数图象得：当x＜-3或0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，如图所示：
以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁与P₂两点，此时△OAP₁与△OAP₂都为等腰三角形，
∵A（3，2），∴OA==，
∴P₁（-，0），
过A作AC⊥x轴，
∵OA=AP₂，∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
作出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₃，此时AP₃=OP₃，△OAP₃为等腰三角形，
设AP₃=OP₃=a，则P₃C=OC-OP₃=3-a，AC=2，
在Rt△ACP₃中，根据勾股定理得：a²=（3-a）²+2²，即6a=13，
解得：a=，
∴P₃（，0），
综上，满足题意的P坐标为（-，0）或（6，0）或（，0）．
分析：（1）将A坐标代入正比例函数y=ax中求出a的值，确定出正比例解析式，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式，求出A与B的坐标，在图象上找出反比例函数图象在正比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，分别为以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₁与P₂两点，此时△OAP₁与△OAP₂都为等腰三角形；作出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P₃，此时AP₃=OP₃，△OAP₃为等腰三角形，分别求出坐标即可．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，以及待定系数法确定函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．