Question

【题目】如图，PA为⊙O的切线，A为切点。过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B。延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E。

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）试探究线段AD、AB、CP之间的等量关系，并加以证明。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB2=2ADPC，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；

（2）根据△OCB∽△BCP，可得到BC2=OCPC．再由OC=AD，BC=AB，得到结论：AB2=2ADPC．

试题解析：（1）证明：连接OA．∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°．

∵OA=OB，OP⊥AB于C，∴BC=CA，PB=PA．

在△PBO和△PAO中， ，∴△PBO≌△PAO，

∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB为⊙O的切线．

（2）AB2=2ADPC．证明如下：

∵∠OBP=∠BCO=90°，∴△OCB∽△BCP，∴，即BC2=OCPC．

∵OC=AD，BC=AB，∴=ADPC，∴AB2=2ADPC．