Question

【题目】如图，为的内接三角形，过点作的切线，交的延长线于，且．

（1）求证：

（2）若，，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接AO并延长，交BC于点E，由切线得AE⊥AD，结合AD∥BC可得AE⊥BC，进而可证得AE垂直平分BC，利用垂直平分线的性质即可得证；

（2）先证△BEO∽△DAO，得，进而可设OE＝3k，则OA＝OB＝5k，再利用勾股定理可求得k的值，进而求得OE、OA，最后在Rt△AEC中利用勾股定理求得AC长即可．

（1）证明：如图，连接AO并延长，交BC于点E，

∵AD与相切，

∴AE⊥AD，

∵AD∥BC，

∴AE⊥BC，

∴BE＝CE，

∴AE垂直平分BC，

∴AB＝AC；

（2）解：∵BC＝8，

∴BE＝CE＝4，

∵AD∥BC，

∴△BEO∽△DAO，

∴

设OE＝3k，则OA＝OB＝5k，

在Rt△BOE中，，

∴

解得k＝1（舍负）

∴OE＝3，OA＝5，

∴AE＝OE+OA＝8，

在Rt△ACE中，

∴的长为